peluang

TEORI PELUANG

A.    Ruang Sampel

Dalam mempelajari statistika pada dasarnya perhatian kita ditujukan pada penyajian dan penafsiran dari hasil yang berkemungkinan yang terjadi pada penelitian yang dirancang atau penelitian ilmiah. Sebagai contoh, kita mungkin mencatat banyaknya kecelakaan yang terjadi tiap bulan di prapatan Jalan Achmad Yani dan Sudirman, dengan harapan penambahan rambu lalu lintas. Jadi statistikawan sering berurusan dengan data percobaan yang berbentuk bilangan atau pengukuran.

Statistikawan menggunakan istilah percobaan untuk menyatakan tiap proses yang menghasilkan data mentah. Misalnya suatu percobaan statistika berupa lantunan suatu mata uang logam. Dalam percobaan ini hanya ada dua macam hasil yang mungkin, ‘muka’ dan ‘belakang’. Walaupun sebuah mata uang dilantunkan berulang kali, kita tidak akan pernah dapat memastikan bahwa suatu lantunan tertentu akan menghasilkan ‘muka’. Akan tetapi kita tahu seluruh kemungkinan yang dapat terjadi untuk tiap lantunan.

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu percobaan (experiment) statistika dan dinyatakan dengan notasi S.

Ruang sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel. Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsure atau anggota ruang sampel tersebut atau dengan singkat suatu titik sampel.

            Titik sampel adalah tiap anggota atau elemen dari ruang sampel.

Bila ruang sampel mempunyai unsure yang hingga banyaknya, maka anggotanya dapat didaftar dengan menuliskannya diantara dua akolade, masing-masing unsur dipisah oleh koma. Jadi ruang sampel S yang merupakan kumpulan semua hasil yang mungkin dari suatu lantunan mata uang dapat ditulis sebagai

            S = [M,B],

M menyatakan muka dan B menyatakan belakang.

Menetapkan ruang sampel adalah langkah awal yang perlu dilakukan sebagai dasar untuk menghitung peluang suatu peristiwa yang ada dalam ruang sampel ini. Peluang terjadinya S adalah sama dengan satu. Ini merupakan konsekuensi logis, karena jumlah titik S adalah jumlah semua peristiwa yang mungkin demikian pula dengan peluangnya. Dalam diagram Venn notasi S ditempatkan pada ujung kanan atas persegi panjang.

Peluang dari ruang sampel S, P(S) = 1

B.     Kejadian

Dalam tiap percobaan kita mungkin ingin mengetahui munculnya kejadian tertentu dan bukan hasil unsur tertentu dalam ruang sampel. Misalnya kita ingin mengetahui mengenai kejadian A bahwa hasil lantunan sebuah dadu dapat dibagi tiga. Ini akan terjadi bila hasilnya merupakan unsur himpunan bagian A=[3,6] dari ruang sampel S=[1,2,3,4,5,6].

Tiap kejadian berkaitan dengan sekelompok titik sampel yang membentuk himpunan bagian ruang sampel tersebut. Himpunan bagian ini mewakili semua unsur yang membuat kejadian dapat muncul.

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

1.      Komplemen

Pandanglah suatu percobaan yang mencatat kebiasaan merokok para karyawan suatu pabrik. Suatu kemungkinan ruang sampel dapat berbentuk pengelompokkan tiap karyawan dalam kelompok tak perokok, perokok ringan, perokok sedang, dan perokok berat. Ambillah himpunan bagian perokok sebagai suatu kejadian. Maka semua yang tak perokok merupakan kejadian tersendiri, yang juga termasuk himpunan bagian dari dari S disebut pelengkap atau komplemen dari himpunan perokok.

Komplemen suatu kejadian A terhadap T adalah himpunan semua unsure T yang tidak termasuk A. Komplemen dinyatakan dengan lambang A’.

Misalnya ruang sampel S = {buku, rokok, cangkul, montir, temperature, es}. A = {rokok, montir, temperature}. Maka A’ = {buku, cangkul, es}.

2.      Irisan

Selanjutnya operasi yang menyangkut kejadian yang akan menghasilkan kejadian baru. Kejadian yang baru ini masih merupakan himpunan bagian dari ruang sampel semula. Misalkan A dan B dua kejadian yang berkaitan dengan suatu percobaan. Dengan kata lain, A dan B himpunan bagian dari ruang sampel S yang sama. Sebagai contoh, pada lantunan dadu misalkan A kejadian bahwa bilangan genap yang muncul dan B kejadian bahwa bilangan yang lebih besar dari 3 yang muncul. Maka himpunan bagian A = {2, 4, 6} dan B = {4, 5, 6} merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} yang sama. Perhatikan bahwa A maupun B akan muncul pada suatu lantunan tertentu bila hasilnya suatu unsure dari himpunan bagian {4, 6}, yang merupakan irisan dari A dan B.

Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A  B, ialah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B.

Dalam percobaan statistika tertentu tidak jarang didefinisikan dua kejadian A dan B yang tidak mungkin terjadi sekaligus. Kedua kejadian A dan B seperti itu dikatakan saling meniadakan atau saling terpisah.

Kejadian A dan B saling meniadakan atau terpisah bila A  B = Ø, yakni bila A dan B tidak memiliki unsur persekutuan.

3.      Gabungan

Sering kita ingin mengetahui tentang terjadinya paling sedikit satu dari dua kejadian padasuatu percobaan. Jadi pada percobaan lantunan dadu, bila A = {2, 4, 6} dan B = {4, 5, 6}, misalkan ingin diselidiki terjadinya salah satu dari A atau B, atau A dan B keduanya terjadi. Kejadian seperti itu disebut gabungan A dan B yang terjadi bila hasilnya merupakan unsur dari himpunan bagian {2, 4, 5, 6}.

Gabungan dua kejadian A dan B dinyatakan dengan lambang A  B ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya.

            Misalkan A = {a, b, c} dan B = {b, c, d, e}, maka A  B = {a, b, c, d, e}

Hubungan antara kejadian dan ruang sampel padanannya dapat digambarkan dengan Diagram Venn. Dalam suatu Diagram Venn misalkan ruang sampel digambarkan sebagai empat persegi panjang dan kejadian dinyatakan sebagai lingkaran di dalamnya.

S         A                                     B                  C

           

           

A  B = daerah 1 dan 2

B  C = daerah 1 dan 3

A  C = daerah 1, 2, 3, 4, 5, dan 7

B’  A = daerah 4 dan 7

A  B  C = daerah 1

(A  B)  C’ = daerah 2, 6, dan 7

            Dan seterusnya.

C.    Menghitung Titik Sampel

1.      Prinsip Dasar Menghitung

a)      Prinsip dasar penjumlahan

Prinsip dasar penjumlahan adalah jika percobaan I dapat dilakukan dalam n cara dan percobaan II dapat dilakukan dalam m cara tetapi kedua percobaan tidak dapat dilakukan secara bersamaan, maka semua percobaan dapat dilakukan dalam n + m cara.

Misalnya suatu kelas ingin memilih seorang ketua kelas. Ketua kelas yang dipilih dapat dari pihak laki-laki yang terdiri dari 10 orang dan pihak perempuan yang terdiri dari 15 orang. Berapa banyak cara memilih ketua kelas?

Pekerjaan pertama adalah memilih seorang siswa dari pihak laki-laki yang terdiri dari 10 orang. Hal ini dapat dilakukan dalam 10 cara.

Pekerjaan kedua adalah memilih seorang siswa dari pihak perempuan yang terdiri dari 15 orang. Hal ini dapat dilakukan dalam 15 cara.

Kedua pekerjaan ini tidak dapat dilakukan secara bersamaan, karena ketua kelas yang dipilih hanya satu orang. Jadi banyaknya cara memilih ketua kelas adalah 10 + 15 = 25 cara.

b)     Prinsip dasar perkalian

Prinsip dasar perkalian adalah jika suatu pekerjaan dapat dilakukan dalam m cara dan setiap m cara dapat dilakukan pekerjaan lain dalam n cara, maka seluruh pekerjaan dapat dilakukan dalam m × n cara.

Misalnya berapa banyak titik sampel dalam ruang sampel bila sepasang dadu dilantunkan sekali?. Dadu pertama dapat menghasilkan salah satu dari m = 6 posisi. Untuk tiap posisi tersebut dadu kedua dapat pula menghasilkan n = 6 posisi. Jadi, pasangan dadu itu dapat menghasilkan m × n = 6 × 6 = 36 posisi.

2.      Permutasi dan Kombinasi

a)      Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan objek dengan memperhatikan urutannya.

Banyak permutasi dari r objek yang diambil dari n objek (r ≤ n) dinotasikan dengan  _nP_r, didefinisikan

                                         _nP_{r =}

1)      Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n

2)      Banyaknya permutasi n benda yang berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)

3)      Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila n₁ diantaranya berjenis pertama, n₂ berjenis kedua, …. , n_k berjenis ke k adalah

4)      Banyaknya cara menyekat suatu himpunan n benda dalam r sel, masing-masing berisi unsur dalam sel pertama,  dalam sel kedua, dst…. Adalah

                                                             

                                    dengan

b)     Kombinasi

Kombinasi adalah susunan berbeda yang dapat dibentuk dari keseluruhan atau sebagian objek tanpa memperhatikan urutannya.

Banyak kombinasi dari r objek yang diambil dari n objek dinotasikan dengan _nC_r , didefinisikan

                                         _nC_{r =}

D.    Peluang Suatu Kejadian

Jika ruang sampel S mempunyai anggota yang berhingga banyaknya dan setiap titik sampel mempunyai kesempatan untuk muncul yang sama, dan A suatu kejadian munculnya  percobaan tersebut, maka peluang kejadian A dinyatakan dengan:  

P(A) = Peluang muncul A

n(A) = banyaknya kejadian A

n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian S

Untuk menentukan peluang suatu kejadian A, semua bobot titik sampel dalam A dijumlahkan. Jumlah ini dinamakan peluang A dan dinyatakan dengan P(A).

Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semuatitik sampel yang termasuk A. Jadi  

0

Bila ruang sampel suatu percobaan berisi N unsur, dan masing-masing dapat terjadi dengan peluang yang sama, maka tiap titik mendapat peluang  Peluang setiap kejadian N yang berisi n dari ke N titik sampel adalah nisbah dari banyaknya unsur di A dengan unsur di S.

Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah

P(A) =

E.     Aturan Penjumlahan

Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka

P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

            Bukti

Perhatikan diagram venn berikut. P(A  B) adalah jumlah peluang titik sampel dalam    A  B.. P(A) + P(B) menyatakan jumlah semua peluang dalam A dan jumlah semua peluang dalam B. jadi peluang dalam A  B telah dijumlahkan dua kali. Karena peluang semua titik dalam A  B adalah P(A  B) maka peluang ini harus dikurangkan sekali untuk mendapatkan jumlah peluang dalam A  B yaitu P(A  B).

 

Akibat 1

Bila A dan  B kejadian yang terpisah, maka

 P(A  B) = P(A) + P(B)

Akibat 2

Bila A₁, A₂, A₃, ….. , A_n saling terpisah, maka

P(A₁  A₂  …..  A_n) = P(A₁) + P(A₂ ) +….. +P(A_n)

Akibat 3

Bila A₁, A₂, ….. , A_n  merupakan suatu sekatan ruang sampel S, maka

P(A₁  A₂  …..  A_n) = P(A₁) + P(A₂ ) +….. +P(A_n)

                                       = P(S) = 1

Sehingga untuk tiga kejadian A, B, dan C

P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)  – P(A  B) - P(A  C) - P(B  C) + P(A  B  C)

Bila A dan A’ kejadian yang berkomplementer, maka P(A) + P(A’) = 1

F.     Peluang Bersyarat

Peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(B|A). Lambang P(B|A) biasanya dibaca ‘peluang B terjadi bila diketahui A terjadi’.

Peluang bersyarat B bila A diketahui, dinyatakan dengan P(B|A), ditentukan oleh

P(B|A) =  , bila P(A) 0

            Kejadian Bebas

            Pandang dua kejadian A dan B yang memenuhi hubungan  P(A|B) = P(A). Terjadinya B sama sekali tidak mempengaruhi terjadinya A. Dalam hal ini terjadinya A bebas dari terjadinya B.

            Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika

            P(B|A) = P(B)

            Dan

            P(A|B) = P(A)

            Jika tidak demikian, A dan B tidak bebas.

Hubungan P(B|A) = P(B) mengakibatkan P(A|B) = P(A), dan sebaliknya.

G.    Aturan Perkalian

Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka

P(A  B) = P(A)P(B|A)

Jadi peluang A dan B terjadi serentak sama dengan peluang A terjadi dikalikan dengan peluang terjadinya B bila A terjadi. Karena kejadian (A  B) dan (B  A) ekivalen, maka juga berlaku

P(A  B = P(B  A ) = P(B)P(A|B)

Dengan kata lain, tidaklah menjadi soal kejadian mana yang disebut A dan yang disebut B.

            Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P(A  B) = P(A)P(B)

Jadi, untuk mendapatkan peluang bahwa dua kejadian bebas akan terjadi bersama, cukup cari hasil kali peluang kedua kejadian.

            Bila dalam suatu percobaan, kejadian A₁, A₂, ….. , A_k  dapat terjadi, maka

P(A₁  A₂  …..  A_k ) = P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁  A₂)……P(A_k|A₁  A₂  …..  A_k-1)

Bila kejadian A₁, A₂, ….. , A_k bebas, maka

P(A₁  A₂  …..  A_k ) = P(A₁ )P( A₂ ) ….. P(A_k )

H.    Aturan Bayers

Misalkan kejadian B₁, B₂, …., B_k merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel S dengan P(B_i)  untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk setiap kejadian A anggota S

P(A) =

Bukti

Perhatikan diagram Venn di bawah. Terlihat bahwa kejadian A merupakan gabungan dari sejumlah kejadian yang saling terpisah B₁  A, B₂  A, …, B_k  A. Yaitu,

A = (B₁  A)  

 

           

Dengan menggunakan akibat 2 pada aturan penjumlahan dan teorema pada aturan perkalian, maka diperoleh

P(A)    = P[(B₁  A)

            = P(B₁  A) + P(B₂  A) + … + P(B_k  A)

            =  = 

(Aturan Bayers) Misalskan kejadian B_1, B_2, …., B_k  merupakan suatu sekatan ruang sampel S dengan P(B_i)  0 untuk i = 1, 2, …, k. Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan P(A)  0.

Maka

            P(B_r|A) =  

Untuk r = 1, 2, …, k

                   Bukti

                        Menurut defenisi peluang bersyarat

                        P( =  

Dan dengan menggunakan teorema aturan bayers sebelumnya pada penyebut, kita peroleh

                        P( =

Gunakan teorema aturan perkalian pada pembilang dan penyebut, kita peroleh bentuk

P( =